最值問題分析求解的兩個角度，高分必備 _旋轉圖形

最值問題分代數最值和幾何最值兩類，其中代數最值主要考查方程與不等式及函數的性質，而幾何最值涉及到圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標多個維度.因其既能考查學生知識的靈活運用能力，又能更好的體現試題的區分度和效度，成為近幾年數學學科中考命題教師偏愛的壓軸題型之一.
初中數學幾何最值問題考查的知識要點主要有以下四個方面（1）公理：兩點之間線段最短（”將軍飲馬”問題、”螞蟻爬行”問題、”阿氏圓”問題、”兩邊之差”問題）（2）公理：垂線段最短（”跳遠”問題、”胡不歸”問題）（3）定圓中的最長弦是直徑（”不定圓”問題）（4）點和圓的位置關系（”360°旋轉”問題、”軌跡隱圓”問題）.
解決此類問題的常規方法是:建模——識模——用模.下面通過一道經典問題來說一說幾何最值分析求解之道。
問題：在△ABC中， ∠ACB＝90° ， ∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為θ（0°＜θ＜180°），得到△A?B?C．
（1）如圖1，當AB∥CB?時，設A1B1與BC相交于D．證明：△A?CD是等邊三角形；
（2）如圖2，連接AA?、BB?，設△ACA1和△BCB1的面積分別為S?、S?．求證：S?：S?＝1：3；
（3）如圖3，設AC中點為E，A?B?中點為P，AC＝a ，連接EP，當θ＝ °時，EP長度最大，最大值為 _____．
【分析】（1）當AB∥CB?時，∠BCB?＝∠B＝∠B?＝30° ，則∠A?CD＝90°﹣∠BCB?＝60°，∠A1DC＝∠BCB1+∠B1＝60° ，可證：△A1CD是等邊三角形；
（2）由旋轉的性質可證△ACA?∽△BCB?，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解；
（3）連接CP ，當E、C、P三點共線時，EP最長，當△ABC旋轉到△A?B?C的位置時，此時θ＝∠ACA?＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．根據圖形求出此時的旋轉角及EP的長．
本題考查了旋轉的性質，特殊三角形的判定與性質，相似三角形的判斷與性質．關鍵是根據旋轉及特殊三角形的性質證明問題．
【解答】（1）證明：如圖，∵AB∥CB? ，
∴∠BCB?＝∠B＝∠B?＝30°，
∴∠A?CD＝90°﹣∠BCB1＝60° ， ∠A?DC＝∠BCB?+∠B?＝60°，
∴△A?CD是等邊三角形；
（2）證明：由旋轉的性質可知AC＝CA? ， ∠ACA?＝∠BCB?，BC＝CB?，
∴△ACA?∽△BCB?，
∴S?：S?＝AC2：BC2＝12：（√3）2＝1：3；
（3）：如圖，連接CP，當△ABC旋轉到△A?B?C的位置時，
此時θ＝∠ACA?＝120°，EP＝EC+CP＝1/2a+a＝3/2a．
故答案為：120，3/2a．
【收獲檢測】
如圖，直角邊長為6的等腰Rt△ABC中，點D、E分別在直角邊AC、BC上，DE∥AB，EC＝4．
（1）如圖1，將△DEC沿射線AC方向平移，得到△D?E?C?，邊D?E?與BC的交點為M，連接BE? ，當CC?多大時，△BME1是等腰直角三角形？并說明理由．
（2）如圖2 ，將△DEC繞點C旋轉∠α（0°＜α＜360°），得到△D1E1C ，連接AD?、BE?、邊D?E?的中點為F．
①在旋轉過程中，AD?和BE?有怎樣的數量關系？并說明理由；
②連接BF，當BF最大時，求AD1的值．（結果保留根號）
【最值問題分析求解的兩個角度，高分必備】【提示】（1）如圖1中，連接EE?，當CC?＝2時jquery獲取最大值，△BME1是等腰直角三角形．利用平移不變性解決問題即可．
（2）①AD?和BE?相等．證明△BE?C≌△AD?C，即可解決問題．
②當點F在BC的延長線上時，BF最大為6+2√2．
【解題反思】
1、從”數”的角度——構造與所求線段長有關的不等關系
用來求最值的常規模型就是不等式，而與線段長有關的不等關系，最常見的就是三角形的三邊關系。所以上述三題，核心思路都是構造出與目標線段有關的三角形jquery獲取最大值，然后借助三角形的三邊關系列出與目標線段有關的不等式進行求解。本題由三邊關系得EP≤CE+CP（共線時相等），本題中CE、CP為定值(思考為什么CP是定值)，所以EP最大=CE+CP 。從數的角度看，本題借助幾何關系構造與變化線段有關的不等關系，解題的本源模型是不等式。雖是幾何題，但離不開代數的技能。
2、從”形”的角度——分析動點的運動軌跡，直觀感受線段的長短變化
深入思考后，我們可以描述出題目中動點的運動軌跡，想象出線段長短變化的動態過程。先通過動圖直觀感受下。
通過動態描述，更能夠直觀感受到線段長短變化的過程，并形象的驗證了之前借助不等式所獲得的數量結論。請同學們思考題中動點的運動軌跡應該如何描述，為什么是這樣的軌跡？
本文到此結束，希望對大家有所幫助。

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最值問題分析求解的兩個角度，高分必備