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FHE學習筆記 #2 多項式環

生活百科

https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_ring
https://zhuanlan.zhihu.com/p/419266064
這篇知乎文章講的比較透徹，但是不易理解，可以結合以下視頻學習 。
無盡沙礫大佬的視頻：3-6-多項式環-4_嗶哩嗶哩_bilibili ~3-6-多項式環-8_嗶哩嗶哩_bilibili
顧沛老師的視頻：30.多項式環1_嗶哩嗶哩_bilibili
本文主要是簡化了知乎文章的敘述，優化了公式的顯示效果，便于自己理解
文章使用 wolai 編寫并導出，在 wolai 中觀看效果更好，有顏色高亮和實時更新
背景以往認知中的多項式是函數形式的，且定義在數域上 。如果 \(\mathbb{P}\) 是 一個數域，那么 \(\mathbb{P}\) 上的一元多項式環 \(\mathbb{P}[x]\) 是由形如
\[a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, \quad n \geqslant 0, \quad a_i \in \mathbb{P}, \quad i=0,1, \ldots, n\]的元素組成的集合 。集合 \(\mathbb{P}[x]\) 上兩個元素 \(a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0, b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_1 x+b_0\)（不妨設 \(m \geqslant n\)）相等當且僅當對任何 \(0 \leqslant i \leqslant m, a_i=b_i\)（這里規定，如果 \(k>n\)，則 \(a_k=0\)） 。而環 \(\mathbb{P}[x]\) 的加法就是合并同類項，乘法是展開相乘再合并同類項 。
但是實際上多項式可以推廣到一般環上，這樣的定義會出問題 。例如 \(x\) 究竟是什么東西，取值是什么，它可能都不需要取自數域 \(\mathbb{P}\) 。所以必須更嚴格的給出 \(x\) 的定義，其實就是后面所謂的超越元（不定元） 。
\(R\) 上添加 \(u\) 形成的環 \(R[u]\)
為了和知乎大佬、顧沛老師的記號統一，用 \(u\) 來表示之前認知中的 \(x\)，也就是自變量 。
多項式的系數是定義在一個環 \(R\) 上的 ， 若 \(R\) 和 \(u\) 要組成多項式運算，則要求他們的運算結果在一個更大的環 \(R[u]\) 上，且要求這是包含 \(R\cup \{u\}\) 最小的環 。
這里有一個更大的環 \(\widetilde R\)，它包含了 \(R,u,R[u]\) ， 至于為什么有這個環筆者也不太清楚
他們之間的關系是這樣的：
FHE學習筆記 #2 多項式環

文章插圖
為了構造出環 \(R[u]\)，考慮它里面的每個元素 \(x\)，都是由以下幾種形式構成：
  • \(R\) 中的元素，即 \(x \in R\)，且它們之間的乘法加法都是封閉的，都在 \(R\) 中
  • \(u\) 的自乘 ， 即存在某個正整數 \(n\) 使得 \(x=u^n\)
  • \(u\) 的自加 ， 即存在某個整數 \(m\) 使得 \(x=m u\)
  • \(u\) 的自乘和 \(R\) 中元素的互乘 ， 即存在 \(a, b \in R\) 和正整數 \(n\) 使得 \(x=a u^n\) 或 \(x=u^n a\) 或 \(x=a u^n b\)
  • 上述情況的加和，\(x=r+\sum_n m_n u^n+\sum_n a_n u^n+\sum_n u^n b_n+\sum_n c_n u^n d_n\)，\(r \in R, a_n, b_n, c_n, d_n\) 是 \(R\) 當中的元素序列
這樣 \(R[u]\) 的元素形式比較復雜，通常我們要求 \(R\) 和 \(\widetilde{R}\) 都是可換幺環 ， 并且它們的幺元相同 ， 來簡化元素形式，同時更貼近多項式的形式 。
在這樣要求以后，我們看到 \(u^n\) 的自加 \(m u^n\) 可以表述為
\[\sum_{i=1}^m u^n=\sum_{i=1}^m\left(1 u^n\right)=\left(\sum_{i=1}^m 1\right) u^n\]因為 \(1 \in R\) 而 \(R\) 是環，因此 1 的自加也在 \(R\) 當中，即存在 \(a \in R\) 使得 \(\begin{aligned}a=\sum_{i=1}^m 1\end{aligned}\)，進而自加 \(m u^n\) 可以表示為 \(a u^n, a \in R\) 的形式，同理自乘也可以化成 \(a u^n, a \in R\) 的形式 。其余可以通過交換性獲得相同的形式 。最后 \(R[u]\) 中元素的形式簡化為：
\[x=a_0+\sum_n a_n u^n, a_0, a_n \in R\]可以人為規定 \(u^0=1\) ， 最后將其寫成 \(x=\sum_n a_n u^n，n\) 取值從0開始，到某個正整數 。
這樣可以得到「交換幺環上添加元素得到的環」的定義：
設 \(R\) 是交換環，\(\widetilde R\) 是它的擴環，\(u \in \widetilde R \backslash R\)，則稱
\[R[u]:=\left\{\sum_{i=0}^n a_i u^i \mid n \in \mathbb{N}, a_i \in R\right\}\]為在 \(R\) 中添加元素 \(u\) 所得到的環，稱 \(a_i u^i\) 為 \(R[u]\) 中某個元素的項，\(a_i\) 為這一項的系數 coefficient 。
在更一般的定義當中，我們其實不強制要求 \(u \in \widetilde{R} \backslash R\)，不過這種情況下和 \(R[u]=R\)，同時 \(u\) 不是超越元，我們這里的定義希望排除這種情況 。
可以證明 \(R[u]\) 就是包含 \(R\cup \{u\}\) 最小的環 。
代數元 Algebraic Element和超越元 Transcendental Element我們如果將 \(R[u]\) 當中的 \(u^0(=1), u, u^2, \ldots, u^n, \ldots\) 視作是一些向量，那么 \(R[u]\) 當中的元素 \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_i u^i\end{aligned}\) 就可以視作是這些向量的「線性組合」 。仿照線性代數當中的說法，我們可以引入代數元和超越元的定義：

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