如何用定義證明nn的n次方極限為0

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我曾在文章《數(shù)學(xué)科學(xué)是最廣大世界的最重要組成部分之一，不能算是自然科學(xué)》里分析到：“……數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是一種關(guān)于數(shù)字(人為定義的反映事物量化指標(biāo)和事物之間數(shù)量關(guān)系的一種特殊符號，其中的字母即不確定或尚未確定的數(shù)字，其中的變量即描述指定事物某個運(yùn)動過程的不斷變化的數(shù)字)、圖形的特殊符號的運(yùn)算和實證科學(xué)，這些符號之間有著較嚴(yán)密的邏輯關(guān)系 。如式子“1+1=2”就表明:在自然數(shù)的發(fā)展過程中，先有符號“1”，才有符號“2”，且規(guī)定“2=1+1”，又如:平面四邊形符號就是人類對現(xiàn)實世界某一側(cè)面可近似看成平面四邊形的物體的直觀表達(dá)，而“平面四邊形的內(nèi)角和是三角形的兩倍”就表明:兩個等底三角形可拼成一個平面四邊形 。這些符號還代表事物的較精確的尺寸、范圍、程度、大小、空間位置關(guān)系等，即量化的和邏輯嚴(yán)密的符號 。比如:一個人身高1.90米，就比用文字語言“這個人長得很高”精確得多；用數(shù)字、運(yùn)算符號和少量文字結(jié)合空間直角坐標(biāo)系內(nèi)球面與平面的具體位置精確表達(dá)它們的位置關(guān)系時 ， 就比光用數(shù)字、運(yùn)算符號和少量文字表達(dá)得既直觀又準(zhǔn)確 。”可見，當(dāng)n→∞時 ， 根據(jù)事物的普遍聯(lián)系和永恒發(fā)展規(guī)律，對于反映事物運(yùn)動變化過程中的量化指標(biāo)和事物之間數(shù)量關(guān)系的一種特殊符號——實變量n，如果已由普通變量質(zhì)變成無窮級變量，它有兩種變化發(fā)展方向，即數(shù)學(xué)科學(xué)里的+∞和-∞，分如下兩種情況討論:
【?如何用定義證明nn的n次方極限為0】(1) 當(dāng)n→+∞時，設(shè)正變量n在永無止境地增大過程中 ， 任一時刻的相對靜止數(shù)為常數(shù)a(a>0) ， 則有n >>a 。這時對于高階無窮變量n^n，根據(jù)不等式的性質(zhì)，有n^n>>n^a>>a^a，而a^a屬于任意正實數(shù)，因此，當(dāng)n→+∞時，lim n^n→+∞，即高階無窮變量n^n不存在極限 ， 它是相對于正無窮大量n的高階無窮大量 。

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(2)當(dāng)n→-∞時，設(shè)負(fù)變量n在永無止境地減小過程中 ， 任一時刻的相對靜止數(shù)為常數(shù)a＇(a′<0)，則有n<>-a＇>0 。這時對于高階無窮變量n^n ， 有n^n=-1/(-n)^(-n)，且根據(jù)不等式的性質(zhì)，有(-n)^(-n)>>( -n)^(-a＇)>>(- a＇)^(-a＇)>0，而(- a＇)^(-a＇)屬于任意正實數(shù)，因此 ， 當(dāng)n→-∞時 ， (-n)^(-n) →+∞，則 n^n=-1/(-n)^(-n)→0-，lim n^n=0，即高階無窮變量n^n存在極限0 ， 它是相對于負(fù)無窮大量n的負(fù)無窮小量 。
綜上討論 ， 當(dāng)實變量n→∞時，嚴(yán)格地講 ， 其高階無窮變量n^n整體上呈發(fā)散式變化，不存在極限值 。

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