立體幾何的四個基本定理（無邊的奇跡源于簡單規則的無限重復）
伽利略說：大自然的語言是數學 ， 它的標志是三角形、圓和其他圖形 。但是對于了解大自然的復雜性來講，幾何學是一種不充分、不具有普遍性的抽象 。
1883年，康托爾為數學引入了一個分形：康托爾集，取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段分別三等分，各去掉中間一段 ， 剩下更短的四段再分別三等分……如此重復這樣的操作一直繼續下去，直至無窮 。
1895年，魏爾斯特拉斯提出了第一個分形函數“魏爾斯特拉斯函數”, 并憑借函數曲線特點“處處連續，處處可以無限細分下去，”證明了所謂的“病態”函數的存在性 。
1906年，科赫在論文《關于一條連續而無切線 ， 可由初等幾何構作的曲線》中提到了一種像雪花的幾何曲線，它的每條曲線都可以相似的形狀無限大的細分下去，而這個雪花曲線就是特例科赫曲線 。

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1914年，波蘭數學家謝爾賓斯基利用等邊三角形 ， 沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，去掉中間的那一個小三角形 。再對其余三個小三角形重復之前的操作 ， 發現了可以無限細分下去的謝爾賓斯基三角形 。兩年后，他用類似的方法將正方形進行分形 ， 發現了正方形的分形——謝爾賓斯基地毯 。

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01
芒德勃羅1924年11月20日生于波蘭華沙，祖籍是立陶宛猶太人 。芒氏的思維方式很特別 ， 喜歡幾何是一個特征 。
他特別重視當時那些非主流的思想 ， 尤其是那些被稱作“病態的”及“直覺的”東西，比如：康托三分集、維爾斯特拉斯不可微曲線、可充滿正方形區域的皮亞諾曲線、謝爾賓斯基地毯與海綿、柯赫雪花曲線和粒子布朗運動等等 。
長期的觀察分析、收集與總結，使芒德勃羅獲得這樣一個印象 ， 除了光滑的歐氏幾何以外，應該還有一種不光滑的幾何 ， 這種幾何更適合于描述大自然的本來面目 。
1967年，法國數學家芒德勃羅（1924-）在美國《科學》雜志上提出一個問題："英國的海岸線有多長？”他自己的回答卻使人們大吃一驚，海岸線的長度可以認為是不能確定的！這取決于測量所用的測度 。比如從飛機上往下測 ， 數值為a；若人沿著海岸步行測，海岸線長b等于步長乘步數 。

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由于步行時經過的彎曲比飛機上觀察的要細致得多，從而b大于a；如果是一只小由沿海岸線爬行測量，經過的彎曲又比人步行時更多，測得數值c必定又大于b 。這就是說，對海岸線觀察得越貼近，越仔細，發現的彎曲細節就越多 。
但是，當你把從空中拍攝的100千米長的海岸線與放大了的10千米長的海岸線的兩張照片相比較 ， 竟會發現它們看上去十分相似，這就是自相似性 。具有自相似的圖形在客觀世界中大量存在 。芒德勃羅給具有這種性質的復雜圖形命名為Fractal，譯成中文叫“分形”.
【無邊的奇跡源于簡單規則的無限重復 ?立體幾何的四個基本定理】1964年芒德勃羅參加了在耶路撒冷舉行的邏輯學與科學哲學大會，在會上作了“嘗試性的分形宣言”的報告 ， 可是沒有正式發表出來 。他還在深思，當今學科分化與設立都很嚴密，如果要有新的成就，就必須要創立個新學科 。

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在 芒德勃羅 1975年出版的《大自然的分形幾何學》一書中，有這么幾句話：“云不只是球體，山不只是圓錐，海岸線不是圓形 ， 樹皮不是那么光滑，閃電傳播的路徑更不是直線 。它們是什么呢？它們都是簡單而又復雜的‘分形’……”分形的提出是為了更好地去描述、解釋真實的大自然 。也正因為此，芒德勃羅 被稱為“分形之父” 。

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02
芒德勃羅打破正統思維形式，利用自相似的觀點對不規則又極其復雜的事物進行了“分形” 。這種分形的科學稱為分形幾何或分形理論，換句話說，分形幾何學研究的對象都有一個共性，就是自相似性，即局部形態與整體形態的相似 。
分形幾何是芒德勃羅在1983年首先創立的，是一門邊緣學科，有著極其廣泛的應用 。
分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、功能、信息、時間、空間等方面具有統計意義上的相似性，成為自相似性 。例如 ， 一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去 ， 每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場 。這種自相似的層次結構，適當地放大或縮小幾何尺寸，整個結構不變 。
芒德勃羅細心地分析了布朗運動，終于發現了隱藏在不規則運動中的分形問題 。芒德勃羅認為布朗運動的基本形式是隨機行走，所使用的基本數學知識是高斯的正態分布，所謂正態分布是呈鐘形（古代鑄的鐘）曲線形狀的一種分布 。
法國數學家萊維在研究這個問題時提出：布朗運動過程的整體與部分有時有相似性 。雖然通常的想法是高斯過程，即正態分布，但是萊維證明了隨機行走（或飛行）還具有自相似性 。萊維的這一思想對芒德勃羅影響極大 。
從1977年芒氏的“分形”一書中，可以看出，他已經自如地將“萊維飛行”運用于各種場合 。遺憾的是，科學界直到20世紀90年代才認識到這部分工作的重要性 。

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03
我國著名數學家華羅庚說過：“就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人 ， 只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美 。”
中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域 。
佛典中有一句話：一花一世界，一葉一菩提
那現在我們看到這個世界本身就是自相似的 。說明我們生活在宇宙中本身也被這樣的簡單規則引領著，無窮無盡 。

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